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Exercice

La puissance lumineuse d’un signal transmis par une fibre optique décroît avec la distance qu’il parcourt.

Le coefficient d’atténuation linéique $\alpha$ caractérise cette décroissance. ll est défini par la relation : $$ \alpha = \dfrac{10}{L} \, \log \left( \dfrac{ \cal I_e }{ \cal I_s } \right) $$ $\alpha$ est exprimé en décibel par unité de longueur ($\pu{dB/m}$), $L$ est la longueur de la fibre en mètre, $\cal I_e$ et $\cal I_s$ sont respectivement les intensités en entrée et en sortie du signal.

Le texte ci-dessous retrace succinctement l’évolution de quelques idées à propos de la nature de la lumière. Extraits d’articles parus dans l’ouvrage « Physique et Physiciens » et dans des revues « Sciences et vie ».

Huyghens (1629-1695) donne à la lumière un caractère ondulatoire par analogie à la propagation des ondes à la surface de l’eau et à la propagation du son.
Pour Huyghens, le caractère ondulatoire de la lumière est fondé sur les faits suivants :

On modélise l’entrée d’un port comme sur le schéma ci-dessous :

Le port est séparé de la mer par deux digues. Une ouverture de largeur $L = \pu{25 m}$ permet aux bateaux d’y accéder. La houle est assimilée à une onde mécanique progressive et sinusoïdale, arrivant de l’ouest vers le port. Elle soulève périodiquement le petit bateau situé au large de l’entrée du port.
La célérité $v$ d’une onde à la surface de l’eau dépend, entre autres, de la profondeur :

L’effet Doppler constitue un moyen d’investigation utilisé en astrophysique Il permet de déterminer la vitesse des astres à partir de l’analyse spectrale de la lumière que ceux-ci émettent.

Cet exercice s’intéresse à deux applications distinctes, à savoir le modèle d’Univers en expansion et la détection d’une étoile double « spectroscopique ».

Les documents utiles à la résolution sont rassemblés en fin d’exercice.

Donnée

• $\pu{1 \text{\AA}} = \pu{0,1 nm}$.

Preuve de l’expansion de l’Univers

1. En utilisant le document 3, déterminer la longueur d’onde médiane du doublet de $\ce{Ca^{2+}}$ dans le spectre de la galaxie nommée : NGC 691.
   Sachant que la longueur d’onde médiane $\lambda_0$ de ce doublet mesurée sur Terre pour une source au repos est de $\pu{5268 \text{\AA}}$, calculer le « redshift » $z$ caractérisant le décalage vers le rouge de cette galaxie, défini dans le document 1.

2. Calculer la vitesse d’éloignement de la galaxie NGC691 par rapport à la Terre.

3. À l’aide des documents 1 et 2, établir dans le cas non relativiste, la relation entre la vitesse d’éloignement $V$ de la galaxie et sa distance $d$ à la Terre, montrant que $V$ est proportionnelle à $d$.