Le problème du chasseur et du singe

Un chasseur vise directement, à l’aide de son arme, un singe suspendu à un arbre. À la date $t=0$, le projectile quitte l’arme. Le singe, sur ses gardes, repère instantanément la menace et, effrayé, lache la branche à laquelle il était suspendu et se laisse tomber.

La décision du singe vous semble-t-elle pertinente ?

Modélisation

  • Le singe et le projectile sont modélisés par des points.
  • L’interaction des systèmes avec l’air est négligée.
  • On définit le repère de projection $(O; \vec{i}, \vec{j})$ tel que :
    • $O$ coïncide avec la position initiale du projectile,
    • $\vec{i}$ est le vecteur unitaire de l’axe $(Ox)$ horizontal,
    • $\vec{j}$ est le vecteur unitaire de l’axe $(Oy)$ vertical.
  • Le chasseur se trouve à la distance (horizontale) $D$ de l’arbre.
  • Le singe se trouve initialement à l’altitude $H$ dans le repère de projection.
  • Le projectile quitte l’arme avec la vitesse $\overrightarrow{V_0}$ dont la direction passe par le singe et fait un angle $\alpha$ avec l’horizontale.
  • Le champ de pesanteur $\vec{g}$ est supposé uniforme.
  • On suppose que la portée du projectile est supérieur à la distance $D$.
Étapes de la résolution du problème
  1. Établir les équation horaires du mouvement du projectile.
  2. Établir les équation horaires du mouvement du singe.
  3. Déterminer à quelle date $t_I$ le projectile se trouve à l’abscisse $D$.
  4. En déduire l’altitude du projectile à l’instant $t_I$.
  5. En déduire l’altitude du singe à l’instant $t_I$.
  6. Conclure
Éléments de correction

Remarque : il faut bien évidemment être capable de démontrer toutes les expressions données.

  1. Équations horaires du projectile : $$ \begin{cases} x_P (t) = V_0 \cos (\alpha) t & \\ y_P (t) = -\dfrac{1}{2} g t^2 + V_0 \sin (\alpha) t & \\ \end{cases} $$

  2. Équations horaires du singe : $$ \begin{cases} x_S (t) = D & \\ y_S (t) = -\dfrac{1}{2} g t^2 + H & \\ \end{cases} $$

  3. $t_I$ est telle que $x_P (t_I) = D$ donc $$ V_0 \cos (\alpha) t_I = D \iff t_I = \dfrac{D}{V_0 \cos (\alpha)} $$

  4. $$ y_P (t_I) = -\dfrac{1}{2} g t_I^2 + V_0 \sin (\alpha) t_I = -\dfrac{1}{2} g \left( \dfrac{D}{V_0 \cos (\alpha)} \right)^2 + V_0 \sin (\alpha) \left( \dfrac{D}{V_0 \cos (\alpha)} \right)$$

En simplifiant on obtient $$ y_P (t_I) = -\dfrac{1}{2} g \left( \dfrac{D}{V_0 \cos (\alpha)} \right)^2 + \tan (\alpha) D$$

  1. $$ y_S (t_I) = -\dfrac{1}{2} g t_I^2 + H = -\dfrac{1}{2} g \left( \dfrac{D}{V_0 \cos (\alpha)} \right)^2 + H$$

  2. Pour comparer l’altitude du singe et du projectile on peut étudier le résultat de leur différence : $$y_S (t_I) - y_P (t_I) = H - \tan (\alpha) D$$ Si on dessine le schéma de la situation, on se rend compte que $\tan (\alpha) = \dfrac{H}{D}$, on peut donc conclure que $$y_S (t_I) - y_P (t_I) = 0$$ Le projectile rencontre le singe, ce dernier n’aurait pas du se laisser tomber.

Comment comprendre la situation ?

Le singe et la flèche ont la même accélération, ils tombent au sol avec une accélération $a = g$. Par rapport au singe, la flèche possède donc un mouvement rectiligne dirigé vers lui puisqu’elle tombe exactement comme lui.