Lancement d'une fusée et retour sur Terre

Lancement d’une fusée

Doc. 1 : Ariane

Ariane est le nom générique d’une famille de lanceurs civils européens de satellites. Le programme Ariane est lancé en 1973 par l’Agence spatiale européenne afin de donner les moyens à l’Europe de mettre en orbite ses satellites sans dépendre des autres puissances spatiales. Ce projet avait été précédé d’un échec avec la fusée Europa. La première version, Ariane 1, effectue son vol inaugural depuis la base de Kourou (Guyane française) le 24 décembre 1979. Elle est rapidement remplacée par des versions plus puissantes, Ariane 2, Ariane 3 et Ariane 4 qui effectuent leur premier vol respectivement en 1984, 1986 et 1988. Pour faire face à l’augmentation de la masse des satellites, le lanceur est complètement refondu, donnant naissance à la version Ariane 5 capable de placer maintenant plus de $10,7\mathrm{t}$ en orbite de transfert géostationnaire. Son premier vol a eu lieu en 1996.

Doc. 2 : Ariane 4

Le lanceur Ariane 4 était commercialisé dans 6 configurations différentes permettant de lancer un ou deux satellites en orbite de transfert géostationnaire (GTO) avec une masse totale de $2100\mathrm{kg}$ à $4950\mathrm{kg}$. Il possédait selon les versions des propulseurs supplémentaires (zéro, deux ou quatre) de types variables : à propergol liquide ou bien à propergol solide (également qualifiés de « à poudre »).

Version Ariane 40

• Masse totale au décollage : $M_0=210\cdot {10}^3\mathrm{kg}$.
• Masse totale de propergol contenu dans le premier étage au décollage : $M_p=147\cdot {10}^3\mathrm{kg}$.
• Masse de propergol consommé chaque seconde lors du fonctionnement du premier étage (c’est aussi le débit d’éjection des gaz) : $D=1,0\cdot {10}^3\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.
• Vitesse d’éjection des gaz par rapport à la fusée, au décollage : $v_g=2,5\cdot {10}^3\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.
• Durée de fonctionnement du premier étage : $147\mathrm{s}$.
• Poussée totale moyenne fournie par les moteurs du premier étage : $F=2,45\cdot {10}^6\mathrm{N}$.
• Pendant la phase de propulsion du premier étage, la poussée des moteurs reste pratiquement constante et la fusée suit une trajectoire sensiblement rectiligne et verticale.

Doc. 3 : Poussée exercée par un moteur à réaction type moteur-fusée

La poussée ou plus exactement la force de poussée $\overrightarrow{F}$ est la modélisation de l’action qu’exercent les gaz éjectés vers l’arrière par la fusée, à la vitesse ${\overrightarrow{v}}_g$ par rapport à la fusée. Dans les conditions optimales du fonctionnement d’une fusée, on peut définir la force de poussée par la relation

$$\overrightarrow{F}=-D{\overrightarrow{v}}_g$$

où $D$ est la masse de gaz éjectée par seconde (débit d’éjection).

Les mesures télémétriques effectuées pendant la phase de fonctionnement du premier étage, ont permis de dresser le tableau donné en annexe. Ce tableau indique l’altitude atteinte par la fusée depuis son point de lancement en fonction du temps écoulé depuis l’instant du décollage (dans un référentiel terrestre donc).

Remarques.

On considère dans cet exercice que l’intensité de la pesanteur reste constante jusqu’à l’altitude maximale considérée : $g=9,8\mathrm{N}\cdot {\mathrm{kg}}^{-1}$. On se placera aussi, lors de toutes les études à suivre, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Étude cinématique du mouvement pendant la phase de propulsion du premier Étage

1. À partir d’un examen rapide du tableau donné en annexe, que peut-on dire de la nature du mouvement de la fusée ?

2. Déterminer la vitesse moyenne de la fusée au cours de la phase de fonctionnement du premier étage.

On se propose de déterminer des valeurs approchées de la vitesse et de l’accélération à différentes dates.

3. Calculer (en indiquant la méthode employée) la valeur de la vitesse $v_9$ à la date $t=9\mathrm{s}$ et la valeur de la vitesse $v_{11}$ à la date $t=11\mathrm{s}$.

4. En déduire (en indiquant la méthode employée) une valeur approchée de l’accélération $a_{10}$ à la date $t=10\mathrm{s}$.

Aux dates $t=70\mathrm{s}$ et $t=140\mathrm{s}$ l’application du raisonnement mis en œuvre aux questions précédentes conduit aux valeurs suivantes pour l’accélération : $a_{70}=7,50\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$ et $a_{140}=25,0\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$.

5. Le mouvement de la fusée est-il uniformément accéléré ?

Étude dynamique du mouvement pendant la phase de propulsion du premier étage

6. Donner toutes les caractéristiques de la force de poussée.

7. Faire un schéma du système fusée et représenter les forces qui s’appliquent sur ce système lors de son ascension.

Remarque.

Les mesures télémétriques montrent que l’on peut négliger les frottements de la fusée avec l’air.

Le modèle utilisé dans cet exercice permet d’écrire le principe fondamental de la dynamique (2ème loi de Newton) pour la fusée, à la date $t$, sous la forme $M{\overrightarrow{a}}_G=\sum {\overrightarrow{F}}^{ext}$ bien que sa masse varie.

8. Donner la direction et le sens du vecteur accélération $\overrightarrow{a}$. Justifier la réponse.

9. Déterminer l’expression littérale de la valeur $a$ du vecteur accélération $\overrightarrow{a}$ en fonction de $F$, $g$ et de la masse $M(t)$ de la fusée à l’instant $t$.

10. Justifier que la masse de la fusée à la date $t$ s’écrit

$$M(t)=M_0-Dt$$

11. Calculer la valeur $M_{70}$ de la masse à la date $t=70\mathrm{s}$.

12. À partir des relations établies aux questions précédentes, calculer la valeur de l’accélération $a_{70}$ à la date $t=70\mathrm{s}$.

13. La valeur de l’accélération à la date $t=70\mathrm{s}$ permet-elle de valider l’étude effectuée dans cette partie ?

Retour sur Terre

Pour revenir sur Terre, les cosmonautes de Soyouz mettent en route pendant quelques minutes des rétrofusées qui modifient la trajectoire et font pénétrer l’engin dans les couches denses de l’atmosphère à environ $75\mathrm{km}$ d’altitude. Les seuls frottements de l’air sur l’engin produisent un important freinage. À $10800\mathrm{m}$ d’altitude, alors que la vitesse est de $250\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$, un premier parachute s’ouvre et réduit la vitesse à $50\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$. Vers $8000\mathrm{m}$ d’altitude le premier parachute est remplacé par un deuxième plus important qui stabilise la vitesse de descente à $10\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.

Les deux derniers kilomètres se font sur une trajectoire pratiquement rectiligne et verticale à la vitesse constante de $10\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$. Cette trajectoire sera matérialisée par un axe vertical $(z^{\prime }z)$ orienté vers le haut et dont l’origine $O$ se trouvera au niveau du sol. Les frottements de l’air sur la cabine elle-même deviennent négligeables.

Donnée.

Masse du vaisseau Soyouz : $m_S=3,00\cdot {10}^3\mathrm{kg}$.

14. Représenter les forces appliquées sur la cabine. Donner toutes les caractéristiques de ces forces.

Lorsque la cabine se trouve à $1\mathrm{m}$ au dessus du sol à la vitesse de $10\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$, une rétrofusée entre en action pour annuler la vitesse au moment de l’atterrissage. On se propose d’étudier cette dernière phase de freinage.

15. Représenter les forces appliquées sur la cabine.

16. Soit $\overrightarrow{F}$ la somme de toutes les forces appliquées. On suppose $\overrightarrow{F}$ constante. Énoncer le théorème de l’énergie cinétique et utiliser ce théorème pour calculer la valeur de $\overrightarrow{F}$.

17. Déduire de $\overrightarrow{F}$ la valeur de la poussée $\overrightarrow{R}$ de la rétrofusée lors de sa mise à feu.

18. Quelles sont les caractéristiques du vecteur accélération $\overrightarrow{a}$ du centre d’inertie $G$ de la cabine ?

19. Quelle est la durée du freinage ?

Informations. Les données numériques concernant le retour sur Terre du vaisseau Soyouz sont issues de renseignements fournis par le C.N.E.S.

Annexe

Corrigé