Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme

Le travail entre deux points d’une force conservative ne dépend pas du chemin suivi par le système sur lequel s’applique la force conservative. Ce travail ne dépend que des caractéristiques des deux points.

Puisque le force électrique est une force constante, $$W_{AB}(\vec{F}_{el}) = \vec{F}_{el} \cdot \overrightarrow{AB} = q\, \vec{E} \cdot \overrightarrow{AB} = q\, (-E) \vec{i} \cdot (x_B - x_A) \vec{i} = -q E (x_B - x_A) $$

Puisque le force électrique est une force constante, $$ W_{AB}(\vec{F}_{el}) = W_{AC}(\vec{F}_{el}) + W_{CB}(\vec{F}_{el}) = \vec{F}_{el} \cdot \overrightarrow{AC} + \vec{F}_{el} \cdot \overrightarrow{CB} $$

$$ W_{AB}(\vec{F}_{el}) = \vec{F}_{el} \cdot (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}) = \vec{F}_{el} \cdot \overrightarrow{AB} $$

On retrouve la même expression du travail, pour la force électrique, quel que soit le chemin suivi.

Puisque le force électrique est une force constante, $$ W_{AB}(\vec{F}_{op}) = \vec{F}_{op} \cdot \overrightarrow{AB} = - \vec{F}_{el} \cdot \overrightarrow{AB} $$ puisqu’à chaque instant $\vec{F}_{op} + \vec{F}_{el} = \vec{0}$.

Donc
$$ W_{AB}(\vec{F}_{op}) = -q\, \vec{E} \cdot \overrightarrow{AB} = -q\, (-E) \vec{i} \cdot (x_B - x_A) \vec{i} = q E (x_B - x_A) $$

La relation $\eqref{eq:1}$ indique que $(x_A - x_B) = E U_{AB} = E (V_A - V_B)$, donc $$ W_{AB}(\vec{F}_{op}) = q (V_B - V_A) \tag{2}\label{eq:2} $$

L’énergie transférée par l’opérateur à la charge électrique fait varier son énergie potentielle électrique : $$ \Delta E_{Pel\;A \to B} = W_{AB}(\vec{F}_{op}) = q (V_B - V_A) \tag{3}\label{eq:3} $$ Comme $\Delta E_{Pel\;A \to B} = E_{Pel}(B) - E_{Pel}(A) = q (V_B - V_A)$ on peut en déduire que, de façon générale, l’énergie potentielle électrique a pour expression : $$ E_{Pel}(M) = q V_M + \text{cste} $$

• Système : {électron}

• Interactions :

  • Système - champ de pesanteur, modélisée par le poids : $\vec{P} = m_e\, \vec{g}$

  • Système - champ électrique, modélisée par la force électrique : $\vec{F}_1 = - e\, \vec{E}_1$

• Référentiel : {terrestre supposé galiléen}

• Schématisation : (pas à l’échelle)

• Deuxième loi de Newton : puisque la masse $m_e$ d’un électron est constante, on peut écrire $$ m_e \vec{a}_1 = \vec{P} + \vec{F}_1 = m_e\, \vec{g} - e\, \vec{E}_1 $$

• Comparaison des valeurs du poids et de la force électrique : $$ \dfrac{\Vert - e\, \vec{E}_1 \Vert}{\Vert m_e\, \vec{g} \Vert} \simeq \dfrac{\pu{1e-19 C} \times \pu{1e5 V.m-1}}{\pu{1e-30 kg} \times \pu{10 N.m-1}} = \dfrac{10^{- 14}}{10^{- 29}} = 10^{15}$$ La valeur de la force électrique est donc $10^{15}$ fois plus élevée que celle du poids !
  On peut donc considérer que le poids communique une accélération à l’électron négligeable comparée à celle que la force électrique lui communique.

• Deuxième loi de Newton (bis) : $$ m_e\, \vec{a}_1 = - e\, \vec{E}_1 $$ ou $$ \boxed{ \vec{a}_1 = - \dfrac{e}{m_e} \vec{E}_1 } $$

Le mouvement du système est uniformément accéléré.

• Repère associé au système d’axes $(x’ x)$, $(y’ y)$, $(z’ z)$ : $(A ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ :

• Projections des conditions initiales et des grandeurs apparaissant dans la relation de Newton : $$\overrightarrow{AM} (0) = \left(\begin{array}{c} 0\cr 0\cr 0 \end{array}\right) \text{ ; } \vec{v}_A = \vec{v}_1 (0) = \left(\begin{array}{c} 0\cr 0\cr 0 \end{array}\right) \text{ ; } \vec{a}_1 = \left(\begin{array}{c} a_{1 x}\cr a_{1 y}\cr a_{1 z} \end{array}\right) \text{ ; } \vec{E}_1 = \left(\begin{array}{c} - E_1\cr 0\cr 0 \end{array}\right)$$

• Projection de la deuxième loi de Newton : $$ \left(\begin{array}{c} a_{1 x}\cr a_{1 y}\cr a_{1 z} \end{array}\right) = - \dfrac{e}{m_e} \left(\begin{array}{c} -E_1\cr 0\cr 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \dfrac{eE_1}{m_e}\cr 0\cr 0 \end{array}\right) $$ donc $$ \boxed{ \begin{cases} a_{1 x} &= \dfrac{eE_1}{m_e}\cr a_{1 y} &= 0\cr a_{1 z} &= 0 \end{cases} } $$

Le mouvement est donc uniformément accéléré selon l’axe $(A x)$. Il n’est pas possible de conclure quant à la forme du mouvement selon les axes $(A y)$ et $(A z)$ : mouvements uniformes ou pas de mouvement.

Composantes de la vitesse : $$ \begin{cases} a_{1 x} &= \dfrac{\mathrm{d}v_{1 x}}{\mathrm{dt}} = \dfrac{eE_1}{m_e}\cr a_{1 x} &= \dfrac{\mathrm{d}v_{1 y}}{\mathrm{dt}} = 0\cr a_{1 z} &= \dfrac{\mathrm{d}v_{1 z}}{\mathrm{dt}} = 0 \end{cases} $$ donc $$ \begin{cases} v_{1 x} (t) &= \dfrac{eE_1}{m_e} t + A\cr v_{1 y} (t) &= B\cr v_{1 z} (t) &= C \end{cases} $$ Conditions initiales pour la vitesse : $$ \begin{cases} v_{1 x} (0) = A = 0\cr v_{1 y} (0) = B = 0\cr v_{1 z} (0) = C = 0 \end{cases} $$ Finalement $$ \boxed{ \begin{cases} v_{1 x} (t) = \frac{eE_1}{m_e} t\cr v_{1 y} (t) = 0\cr v_{1 z} (t) = 0 \end{cases} } $$ Il n’y a aucun mouvement selon les axes $(A y)$ et $(A z)$.

Composantes du vecteur position :

$$ \begin{cases} v_{1 x} (t) &= \dfrac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{dt}} = \dfrac{eE_1}{m_e} t\cr v_{1 y} (t) &= \dfrac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{dt}} = 0\cr v_{1 z} (t) &= \dfrac{\mathrm{d}z_1}{\mathrm{dt}} = 0 \end{cases} $$ donc $$ \begin{cases} x_1 (t) &= \dfrac{1}{2}\, \dfrac{eE_1}{m_e} t^2 + D\cr y_1 (t) &= E\cr z_1 (t) &= F \end{cases} $$ Conditions initiales pour la position : $$ \begin{cases} x_1 (0) &= D = 0\cr y_1 (0) &= E = 0\cr z_1 (0) &= F = 0 \end{cases} $$ Finalement $$ \boxed{ \begin{cases} x_1 (t) &= \dfrac{1}{2}\, \dfrac{eE_1}{m_e}\, t^2\cr y_1 (t) &= 0\cr z_1 (t) &= 0 \end{cases} } $$

Comme toujours il est impossible de répondre directement à cette question à partir des équations horaires qui utilisent le paramètre temps, il faut se poser à la question suivante : à quelle date l’électron parvient-il en $B$ ?

Si on note $t_B$ la date à laquelle l’électron parvient en $B$, alors $$ x_1 (t_B) = \dfrac{1}{2}\, \dfrac{eE_1}{m_e}\, t_B^2 = AB \Leftrightarrow \boxed{ t_B = \sqrt{\dfrac{2 m_e\, AB }{eE_1}} } $$ et $$ v_{1 B} = v_{1 x} (t_B) = \dfrac{eE_1}{m_e} \sqrt{\dfrac{2 m_e \, AB }{eE_1}} $$ finalement $$ \boxed{ v_{1 B} = \sqrt{\dfrac{2eE_1\, AB }{m_e}} } $$

A.N. : $t_B = \pu{2,4e-9 s}$ ; $v_{1 B} =\pu{2,5e7 m.s-1}$.

La seule force qui s’applique sur l’électron est la force électrique, force conservative ; l’énergie mécanique de l’électron se conserve donc.

• Au point $A$ : $E_M(A) = E_C(A) + E_{Pel}(A) = -e V_A + \text{cste}$ puisque l’électron est produit sans vitesse.
• Au point $B$ : $E_M(B) = E_C(B) + E_{Pel}(B) = \dfrac{1}{2}\, m_e v_{1 B}^2 - e V_B + \text{cste}$
• L’énergie mécanique se conserve : $\Delta E_M = 0 \iff E_M(A) = E_M(B)$ donc $$ -e V_A + \text{cste} = \dfrac{1}{2}\, m_e v_{1 B}^2 - e V_B + \text{cste} $$ et $$ \boxed{ v_{1 B} = \sqrt{ \dfrac{2 e}{m_e}\, (V_B - V_A) } } $$ Ce résultat est-il identique au précédent ? À partir du schéma, on peut écrire $$ E_1 = \dfrac{V_B - V_A}{AB}$$ donc le résultat précédent s’écrit aussi $$ \boxed{ v_{1 B} = \sqrt{ \dfrac{2 e E_1\, AB}{m_e}} } $$

• Système : {électron}

• Interactions :

  • Système - champ de pesanteur : négligeable.

  • Système - champ électrique, modélisée par la force électrique : $\vec{F}_{2 el} = - e \vec{E}_2$

• Référentiel : {terrestre supposé galiléen}

• Schématisation : (pas à l’échelle)

• Deuxième loi de Newton : puisque la masse $m_e$ d’un électron est constante, on peut écrire $$ m_e\, \vec{a}_2 = \vec{F}_{2 el} = - e \vec{E}_2 $$ soit $$ \boxed{ \vec{a}_2 = - \dfrac{e}{m_e}\, \vec{E}_2 } $$ Le mouvement est uniformément accéléré.

• Projection de la deuxième loi de Newton sur le système d’axes $(x’ x)$, $(y’ y)$, $(z’ z)$ muni du repère $(B ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ (non dessiné sur le schéma) :

• Projections des conditions initiales et des grandeurs apparaissant dans la relation de Newton : $$ \overrightarrow{BM} (0) = \left(\begin{array}{c} 0\cr 0\cr 0 \end{array}\right) \text{ ; } \vec{v}_B = \vec{v}_2 (0) = \left(\begin{array}{c} v_B\cr 0\cr 0 \end{array}\right) \text{ ; } \vec{a}_2 = \left(\begin{array}{c} a_{2 x}\cr a_{2 y}\cr a_{2 z} \end{array}\right)$$

$$ \vec{E}_2 = \left(\begin{array}{c} 0\cr -E_2\cr 0 \end{array}\right) $$

• Composantes de l’accélération : $$ \begin{pmatrix} a_{2 x}\cr a_{2 y}\cr a_{2 z} \end{pmatrix} = - \dfrac{e}{m_e}\, \begin{pmatrix} 0\cr -E_2\cr 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cr \dfrac{eE_2}{m_e}\cr 0 \end{pmatrix} $$ donc $$ \boxed{ \begin{cases} a_{2 x} = 0\cr a_{2 y} = \dfrac{eE_2}{m_e}\cr a_{2 z} = 0 \end{cases} } $$ Le mouvement est donc uniformément accéléré selon l’axe $(A y)$. Il n’est pas possible de conclure quant à la forme du mouvement selon les axes $(A x)$ et $(A z)$ : mouvements uniformes ou pas de mouvement.

Composantes de la vitesse : $$ \begin{cases} a_{2 x} &= \dfrac{\mathrm{d}v_{2 x}}{\mathrm{dt}} = 0\cr a_{2 x} &= \dfrac{\mathrm{d}v_{2 y}}{\mathrm{dt}} = \dfrac{eE_2}{m_e}\cr a_{2 z} &= \dfrac{\mathrm{d}v_{2 z}}{\mathrm{dt}} = 0 \end{cases} $$ donc $$ \begin{cases} v_{2 x} (t) = A\cr v_{2 y} (t) = \dfrac{eE_2}{m_e}\, t + B\cr v_{2 z} (t) = C \end{cases} $$

• Conditions initiales pour la vitesse : $$ \begin{cases} v_{2 x} (0) &= A = v_B\cr v_{2 y} (0) &= B = 0\cr v_{2 z} (0) &= C = 0 \end{cases} $$ Finalement $$ \boxed{ \begin{cases} v_{2 x} (t) &= v_B\cr v_{2 y} (t) &= \dfrac{eE_2}{m_e} t\cr v_{2 z} (t) &= 0 \end{cases} } $$ Il n’y a aucun mouvement selon l’axe $(B z)$ alors que le mouvement est uniforme selon l’axe $(B x)$.

• Composantes du vecteur position : $$ \begin{cases} v_{2 x} (t) &= \dfrac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{dt}} = v_B\cr v_{2 y} (t) &= \dfrac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{dt}} = \dfrac{eE_2}{m_e} t\cr v_{2 z} (t) &= \dfrac{\mathrm{d}z_2}{\mathrm{dt}} = 0 \end{cases} $$ donc $$ \begin{cases} x_2 (t) &= v_B t + D\cr y_2 (t) &= \dfrac{1}{2}\, \dfrac{eE_2}{m_e}\, t^2 + E\cr z_2 (t) &= F \end{cases} $$

• Conditions initiales pour la position : $$ \begin{cases} x_2 (0) &= D = 0\cr y_{12} (0) &= E = 0\cr z_2 (0) &= F = 0 \end{cases} $$

• Finalement $$ \boxed{ \begin{cases} x_2 (t) = v_B t\cr y_2 (t) = \frac{1}{2} \frac{eE_2}{m_e} t^2\cr z_2 (t) = 0 \end{cases} } $$

Pour obtenir l’équation de la trajectoire, il faut éliminer le temps des équations horaires : $$ t = \dfrac{x_2}{v_B} $$ donc $$ \boxed{ y_2 (x) = \dfrac{1}{2}\, \dfrac{eE_2}{m_e} \left( \dfrac{x_2}{v_B} \right)^2 } $$ C’est une parabole orientée vers le haut.

On fait l’hypothèse que l’électron va toucher l’armature supérieure. Soit $x_{2 p}$ l’abscisse de l’électron lorsque cet évènement intervient.

À partir de l’équation de la trajectoire (c’est aussi possible à partir des équations horaires), on peut déterminer que : $$ y_2 (x_{2 p}) = \dfrac{d}{2} = \dfrac{1}{2}\, \dfrac{eE_2}{m_e} \left( \dfrac{x_{2 p}}{v_B} \right)^2 $$ soit $$ x_{2 p} = v_B \sqrt{\frac{m_e d}{eE_2}} $$ L’électron ne touche pas l’armature supérieure si $x_{2 p} > BC$, donc si $$ x_{2 p} = v_B \sqrt{\frac{m_e d}{eE_2}} > BC $$

A.N. $x_{2 p} = \pu{10,3 cm} > \pu{6,0 cm}$

La question précédente a fourni l’expression suivante : $$ v_B \sqrt{\frac{m_e d}{eE_2}} > BC \iff v_B \sqrt{\frac{m_e d^2}{eU_2}} > BC $$ puisque $E_2 = \dfrac{U_2}{d}$. Finalement $$ \boxed{ \dfrac{m_e d^2 v_B^2}{e\, BC^2} > U_2 } $$

L’électron quitte la deuxième zone lorsque $$ \boxed{ x_{2 C} = BC } $$ donc lorsque $$ \boxed{ y_2 (x_{2 C}) = \dfrac{1}{2}\, \dfrac{eE_2}{m_e} \left( \dfrac{BC}{v_B} \right)^2 } $$

Au-delà des deux première zones, il n’existe plus de champ électrique et l’on peut toujours négliger le poids de l’électron. Ce dernier n’est donc soumis à aucune force, son mouvement est rectiligne et uniforme depuis le point de sortie de la deuxième zone.