Transferts thermiques : comment modéliser l'évolution de la température d'un solide ?

• Système = {cuillère}
• Milieu extérieur = {eau chaude}

• La température du milieu extérieur est supérieure à la température du système. L’énergie thermique s’écoule donc du milieu extérieur vers le système.
• La relation de Newton conduit à $\varphi > 0$, la puissance thermique est effectivement reçue par le système.

• Le premier principe de la thermodynamique s’écrit : $$ \Delta E_{tot} = \Delta E_M + \Delta U = Q + W $$ avec $E_M$ l’énergie mécanique et $U$ l’énergie interne du système, $Q$ l’énergie échangée par transfert thermique et $W$ l’énergie échangée par travail.

• Comme le système est immobile et que ses interactions macroscopiques avec l’environnement ne varient pas, $$ \Delta E_M = 0 $$

• Comme aucune force s’appliquant sur le système ne voit son point d’application se déplacer dans l’espace, $$ W = 0 $$

• Finalement, $$ \Delta U = Q $$

• Comme $\Delta U = m c\, \Delta T$, $$ m c\, \Delta T = Q $$

Remarque : afin de bien comprendre le processus, il est préférable de revenir à la définition de la dérivation.

• Puisque la température est une grandeur qui dépend du temps, la relation obtenue à la question précédente peut s’écrire $$ m c\, \Delta T = Q \iff mc\, \left( T(t+ \Delta t) - T(t) \right) = Q $$

• Si on divise le tout par $\Delta t$, on obtient $$ mc\, \dfrac{T(t+ \Delta t) - T(t)}{\Delta t} = \dfrac{Q}{\Delta t} $$

• La température $T$ est supposée continue (hypothèse raisonnable). Il est donc possible de passer à la limite,
  $$ mc\, \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{T(t+ \Delta t) - T(t)}{\Delta t} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{Q}{\Delta t} $$ ce qui s’écrit $$ mc\, \dfrac{\mathrm{d}T}{dt} = \dfrac{\mathrm{d}Q}{dt} $$

• $\varphi = \dfrac{\mathrm{d}Q}{dt}$
• Unité : $\pu{J.s-1} = \pu{W}$

$$ mc\, \dfrac{\mathrm{d}T}{dt} = \varphi \iff mc\, \dfrac{\mathrm{d}T}{dt} = hS(T_1 - T) $$ On peut aussi écrire cette relation $$ \dfrac{\mathrm{d}T}{dt} + \dfrac{hS}{mc} T = \dfrac{hS}{mc} T_1 $$ Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. Cette équation différentielle comporte un second membre.

1. La famille de solutions doit vérifier l’équation différentielle

$$ \dfrac{\mathrm{d}T}{dt} = - \dfrac{A}{\tau} e^{- \dfrac{t}{\tau}}$$ donc lorsqu’on injecte cette dernière expression dans l’équation différentielle, on obtient $$- \dfrac{A}{\tau} e^{- \dfrac{t}{\tau}} + \dfrac{hS}{mc} \left( A e^{- \dfrac{t}{\tau}} + B \right) = \dfrac{hS}{mc} T_1 $$ ou $$ A \left( - \dfrac{1}{\tau} + \dfrac{hS}{mc} \right) e^{- \dfrac{t}{\tau}} + \dfrac{hS}{mc} ( B - T_1) = 0 $$

• La partie faisant intervenir l’exponentielle doit forcément être nulle puisque ce terme ne peut pas dépendre du temps. La seule solution acceptable est $$ \tau = \dfrac{mc}{hS} $$

• La seconde partie est aussi forcément nulle. On a donc $$ B = T_1 $$

La famille de solution convient si on écrit $$ T = A e^{- \dfrac{t}{\tau}} + T_1 $$ avec $\tau = \dfrac{mc}{hS}$.

2. La solution vérifie toutes les solutions particulières (comme la condition initiale)

$$ T(0) = T_0 = A e^{- \dfrac{0}{\tau}} + T_1 \iff T_0 = A + T_1 $$ Finalement $$ A = T_0 - T_1 $$

3. Solution $$ T = (T_0 - T_1) e^{- \dfrac{t}{\tau}} + T_1 $$ La température tend bien asymptotiquement vers $T_1$ pour $t \to \infty$. La température finale de la cuillère est celle de l’eau chaude.

• $\tau =\dfrac{mc}{hS} = \dfrac{\pu{70e-3 kg} \times \pu{235 J·kg-1·K-1}}{\pu{3000 W.m-2·K−1} \times \pu{90e-4 m2}} = \pu{0,61 s}$

• On a vu dans le cours que le régime transitoire d’un phénomène qui évolue exponentiellement dure approximativement $5 \tau$, c’est à dire ici 3 secondes. Cette cuillère n’est donc pas utilisable puisque sa température passe de $\pu{21 °C}$ à $\pu{100 °C}$ en 3 secondes.

Pour augmenter la valeur de $\tau$, on peut choisir un cuillère

• de masse plus importante ;
• d’un autre matériau de capacité thermique plus grande ;
• de surface plus grande ;
• ….