Le résultat d’une mesure n’est pas une valeur mais un intervalle de valeurs que l’on note $\pu{m±U(m)}$ est l’incertitude sur la mesure — dans lequel on peut considérer, avec un certain niveau de confiance, que la « valeur vraie » se trouve.
Avertissement
Aucune des formules présentées dans ce document ne doit être apprise par cœur car elles seront systématiquement données si nécessaire.
En revanche, il faudra être capable de choisir la formule à utiliser et il sera impératif de savoir l’utiliser.
Quelle stratégie mettre en œuvre lors du calcul d’une incertitude ?
Lors du calcul d’une incertitude trois cas de figure peuvent se présenter :
- L’incertitude porte sur une mesure expérimentale que l’on peut répéter plusieurs fois ;
- L’incertitude porte sur une mesure expérimentale que l’on ne peut pas répéter plusieurs fois ;
- L’incertitude est celle du résultat d’un calcul effectué à partir de grandeurs pour lesquelles les incertitudes sont connues.
Illustration du point n° 3 ci-dessus : en électricité, $v = d / \Delta t$ avec $d = d_{m} \pm U (d)$ et $\Delta t = \Delta t_{m} \pm U (\Delta t)$. Comment déterminer $U (v)$ ?
Détermination pratique d’une incertitude lorsqu’on peut effectuer une série de mesures
- Consulter le document 0,3, sur Google Classroom.
Détermination de l’incertitude lorsqu’on n’effectue qu’une seule mesure
Lorsqu’une mesure ne peut pas être reproduite plusieurs fois, il est impossible d’estimer une incertitude de répétabilité. ll est alors nécessaire d’analyser les différentes sources d’erreurs liées à l’instrument de mesure.
Utilisation d’un appareil gradué
Cas d’une lecture simple sur une échelle graduée
Lorsque la mesure est obtenue par une seule lecture sur une échelle ou un cadran, pour un niveau de confiance de 95 %, l’incertitude de cette mesure a pour expression : $$ U_{\text{lecture}} = \dfrac{\text{Valeur Plus Petite Graduation}}{\sqrt{3}} $$
- Une balance numérique au 1/100 de gramme affiche une masse $m = \pu{38,45 g}$. Déterminer la valeur de l’incertitude $U(m)$ et écrire le résultat de la pesée.
Cas d’une double lecture sur une échelle graduée
Lorsque la mesure nécessite une double lecture, les incertitudes liées à la lecture peuvent se cumuler ou se compenser, totalement ou partiellement. Pour un niveau de confiance de 95 %, l’incertitude de cette mesure a pour expression : $$ U_{\text{double lecture}} = \sqrt{2\, \left(\dfrac{\text{Valeur Plus Petite Graduation}}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{2}\;U_{\text{lecture}} $$
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La mesure de la distance séparant deux récepteurs à ultrason nécessite de repérer par rapport à une règle graduée jusqu’au millimètre les positions de ces deux dispositifs : c’est une double mesure.
Déterminer l’incertitude associée à toute mesure utilisant une règle graduée jusqu’au millimètre. -
La mesure de la période $f$ d’un signal périodique affiché sur l’écran d’un oscilloscope nécessite de repérer deux points de la courbe et de lire leurs abscisses : c’est une double mesure.
La plus petite graduation, sur l’écran de l’oscilloscope, étant égale à $\pu{0,2 division}$, déterminer l’incertitude associée à toute mesure à l’écran d’un oscilloscope.
Utilisation d’un appareil dont le constructeur a indiqué la tolérance
Cas d’une mesure obtenue avec un appareil de tolérance connue
Lorsque la mesure est obtenue avec un appareil pour lequel le constructeur indique la tolérance $t$ (notée $\pm t$), l’incertitude liée à la tolérance de cet appareil a pour expression : $$ U = \dfrac{2\, t}{\sqrt{3}} $$
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En chimie, les fabricants indiquent toujours la tolérance sur la verrerie jaugée. Par exemple, la tolérance d’une pipette jaugée de $\pu{10 mL}$, de classe A, est égale à $\pu{\pm 0,02 mL}$.
Déterminer l’incertitude sur la mesure d’un volume à l’aide d’une pipette jaugée de $\pu{10 mL}$. -
Un élève mesure un volume d’eau de $\pu{40,0 mL}$ avec une burette graduée de $\pu{50 mL}$ de classe A (tolérance $\pu{\pm 0,05 mL}$).
Déterminer l’incertitude sur la mesure du volume d’eau.
Évaluation d’une incertitude sur une mesure dans laquelle interviennent plusieurs sources d’erreurs
Lors d’un mesurage, il est fréquent d’avoir plusieurs sources d’erreurs à prendre en compte.
C’est notamment le cas lorsque :
- le mesurage fait intervenir une ou plusieurs lectures avec un appareil de tolérance donnée ;
- le mesurage fait intervenir un calcul avec des valeurs dont les incertitudes sont connues.
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On cherche à déterminer la valeur d’une résistance électrique $R$ par mesures de la tension $U$ à ses bornes et de l’intensité $I$ du courant qui la traverse. On obtient les valeurs suivantes : $U=\pu{(19,8 \pm 0,3) V}$ et $I=\pu{(0,120\pm 0,005) A}$. La loi d’ohm se traduit mathématiquement par la relation $R = \dfrac{U}{I}$.
Déterminer la valeur $R$ de cette résistance électrique sachant que $$ \left(\dfrac{U(R)}{R}\right)^2 = \left(\dfrac{U(U)}{U}\right)^2 + \left(\dfrac{U(I)}{I}\right)^2 $$ -
Un élève manipule une burette graduée de tolérance $t=\pu{\pm 0,05 mL}$. On suppose qu’il utilise une méthode de lecture du volume correcte. On ne prend donc en compte que l’incertitude de lecture sur l’échelle graduée de la burette.
- Pour faire une mesure de volume versé, il doit faire deux lectures de volume successives : le zéro et le volume versé. Déterminer l’incertitude $U_{\text{lecture}}$ associée à ces deux repérages.
- Déterminer l’incertitude $U_{\text{tolérance}}$ liée à la tolérance indiquée par le constructeur.
- Déterminer l’incertitude finale associée au mesurage, sachant qu’elle a pour expression $$ U(V) = \sqrt{U_{\text{lecture}}^2 + U_{\text{tolérance}}^2} $$
Extraits d’annales
Antilles 2013 — Ex.3
Lors des questions précédentes, dans cet exercice, l’étude du mouvement d’un électron dans un champ électrique a permis de déterminer que le rapport $e/m$ — valeur absolue de la charge électrique de l’électron sur sa masse — vaut $\pu{1,76e11 C/kg}$.
On donne les valeur numériques suivantes pour le problème : $v_0 = \pu{(2,27 \pm 0,02)e7 m/s}$ (vitesse de l’électron lorsqu’il entre dans le champ), $E = \pu{(15,0 \pm 0,1) kV/m}$ (valeur du champ électrique), $L = \pu{(8,50 \pm 0,05) cm}$ (largeur de la zone dans laquelle existe le champ électrique) et $h = \pu{(1,85 \pm 0,05) cm}$ (hauteur de l’électron à sa sortie de la zone dans laquelle existe le champ électrique).
L’incertitude du rapport $e/m$, notée $U(e/m)$, s’exprime par la formule suivante : $$ U(e/m) = \dfrac{e}{m} \sqrt{ \left(\dfrac{U(h)}{h}\right)^2 + \left(\dfrac{U(E)}{E}\right)^2 + 4 \left(\dfrac{U(v_0)}{v_0}\right)^2 + 4 \left(\dfrac{U(L)}{L}\right)^2} $$
Calculer l’incertitude $U(e/m)$, puis exprimer correctement le résultat du rapport $e/m$.
Accès à une animation en ligne
Mouvement d'un électron dans un oscilloscope
Annales 0 — Ex.3
Lors des questions précédentes, dans cet exercice, il a été montré que, dans le cadre non relativiste, l’expression de la vitesse $v$ d’une galaxie a pour expression $v = c\, \left( \dfrac{\lambda\rq}{\lambda} -1 \right)$ (application de l’effet Doppler).
- Pour la galaxie TGS153Z170, on a $\lambda\rq= \pu{507 nm}$ et $\lambda = \pu{486 nm}$ ($c$ est la célérité de la lumière dans le vide).
Calculer la valeur $v$ de la vitesse de la galaxie. - On donne la relation d’incertitude suivante pour la vitesse :
$$
U(v) = \sqrt{2}\, c\, \dfrac{U(\lambda)}{\lambda}
$$
avec $U(\lambda) = \pu{1 nm}$.
Donner la valeur de la vitesse de la galaxie prenant en compte les différentes incertitudes.