Exercices de synthèse

1. $\Delta t_A = \dfrac{d}{v_{\text{acier}}}$

A.N. $\Delta t_A = \dfrac{\pu{1000 m}}{\pu{5000 m.s-1}} = \pu{0,200 s}$.

2. $\Delta t_J = \dfrac{d}{v_{\text{air}}}$

A.N. $\Delta t_J = \dfrac{\pu{1000 m}}{\pu{340 m.s-1}} = \pu{2,94 s}$.

3. Si on note $\Delta t$ le retard du signal que reçoit Joe par rapport à Averell, $\Delta t = \Delta t_J - \Delta t_A$ donc $\Delta t = d \cdot \left(\dfrac{1}{v_{\text{air}}} - \dfrac{1}{v_{\text{acier}}} \right)$

A.N. $\Delta t = \pu{2,94 s} - \pu{0,200 s} = \pu{2,74 s}$.

1. Le graphique nous apprend que le point $A$ reste immobile jusqu’à la date $t_0 = \pu{0,20 s}$. C’est à cet instant là que l’onde l’atteint.
2. Toujours sur le même graphique, on constate que le point $A$ est en mouvement jusqu’à la date $t_1 = \pu{0,25 s}$. Il reste immobile ensuite.
   L’onde met donc en mouvement le point $A$ pendant $\Delta t = \pu{0,25 s} - \pu{0,20 s} = \pu{0,05 s}$.
3. L’onde parcourt la distance $d=\pu{1,50 m}$ pendant la durée $t_0$, donc $v=\dfrac{d}{t_0}$.
   A.N. $v=\dfrac{\pu{1,50 m}}{\pu{0,20 s}} = \pu{7,5 m.s-1}$.

L’exercice précédent nous a appris que le point $A$ se trouve à $\pu{1,50 m}$ de la source de l’onde et qu’à la date $t_0 = \pu{0,20 s}$ l’onde atteint tout juste $A$.

b. Cette situation est impossible puisqu’elle illustre une situation dans laquelle l’onde a totalement dépassé le point $A$ alors qu’on sait qu’elle arrive à peine au niveau de ce point à la date $t_0$.

a. et c. Ces situations respectent bien le fait que l’onde parvient tout juste au point $A$ à la date $t_0$. Pour trancher entre ces deux situations, il faut revenir à l’étude du graphique de l’exercice précédent, c’est à dire à l’évolution du point $A$ au cours du temps. On remarque que, depuis sa position d’équilibre, le point $A$ s’élève d’abord doucement (coefficient directeur de la tangente, donc dérivée, peu important) pendant une certaine durée ($\pu{0,03 s}$ environ) puis retombe rapidement (coefficient directeur de la tangente, donc dérivée, très grand). Cette évolution temporelle doit se traduire par la forme d’onde de la situation c.

1. Les perturbation se déplace plus rapidement dans l’eau que dans l’air. La nageuse la perçoit donc en premier.
2. On note $t_N = \dfrac{d}{ v_{\text{eau}} }$ la date à laquelle la nageuse reçoit l’onde. De même, on note $t_S = \dfrac{d}{ v_{\text{air}} }$ la date à laquelle le spectateur reçoit le son.
   $\Delta t = t_S - t_N$ est alors le retard avec lequel le son arrive au niveau du spectateur par rapport à l’instant où la nageuse reçoit ce son. $\Delta t = \dfrac{d}{ v_{\text{air}} } - \dfrac{d}{ v_{\text{eau}} } = d\, \left( \dfrac{1}{ v_{\text{air}}} - \dfrac{1}{ v_{\text{eau}} } \right)$.
3. A.N. $\Delta t = d = \pu{10,0 m} \times \left( \dfrac{1}{ \pu{340 m.s-1} } - \dfrac{1}{ \pu{1480 m.s-1} } \right) = \pu{2,27e-2 s}$.