Avertissement
Aucune des formules présentées dans ce document ne doit être apprise par cœur car elles seront systématiquement données si nécessaire.
En revanche, il faudra être capable de choisir la formule à utiliser et il sera impératif de savoir l’utiliser.
Le résultat d’une mesure n’est pas une valeur mais un intervalle de valeurs, que l’on note $\pu{m±U(m)}$1, dans lequel on peut considérer, avec un certain niveau de confiance, que la « valeur vraie » se trouve.
Quelle stratégie mettre en œuvre lors du calcul d’une incertitude ?
Lors du calcul d’une incertitude trois cas de figure peuvent se présenter :
- L’incertitude porte sur une mesure expérimentale que l’on peut répéter plusieurs fois : on parle d’incertitude de type A ;
- L’incertitude porte sur une mesure expérimentale que l’on ne peut pas répéter plusieurs fois : on parle d’incertitude de type B ;
- L’incertitude est celle du résultat d’un calcul effectué à partir de grandeurs pour lesquelles les incertitudes sont connues.
Le point n°1 ci-dessus a été abordé en classe de seconde, le point n°2 sera abordé cette année, le dernier point sera étudié en classe de terminale.
Détermination de l’incertitude lorsqu’on peut effectuer une série de mesures
Lorsqu’un même opérateur répète plusieurs fois la mesure de la même grandeur dans les mêmes conditions expérimentales, il trouve généralement des résultats différents. Il en est de même lorsque des opérateurs différents réalisent simultanément le mesurage de la même grandeur avec du matériel similaire.
Lorsqu’on peut réaliser plusieurs fois un mesurage, on utilise des notions de statistiques pour déterminer la valeur du résultat :
- La valeur estimée est assimilée à la valeur moyenne de la série de mesures ;
- L’incertitude est calculée à partir de l’écart-type de la série de mesures.
Ce type d’incertitude est étudié dans l’activité Chap. 3,3 : Utilisation d’un tableur pour déterminer une incertitude de mesure de type A.
Détermination de l’incertitude lorsqu’on n’effectue qu’une seule mesure
Lorsqu’une mesure ne peut pas être reproduite plusieurs fois, il est impossible d’estimer une incertitude de répétabilité. Il est alors nécessaire d’analyser les différentes sources d’erreurs liées à l’instrument de mesure.
Utilisation d’un appareil gradué
Cas d’une lecture simple sur une échelle graduée
Lorsque la mesure est obtenue par une seule lecture sur une échelle ou un cadran, pour un niveau de confiance de 95 %, l’incertitude de cette mesure a pour expression : $$ U_{\text{lecture}} = \dfrac{\text{Valeur Plus Petite Graduation}}{\sqrt{3}} $$
- Une balance numérique au 1/100 de gramme affiche une masse $m = \pu{38,45 g}$. Déterminer la valeur de l’incertitude $U(m)$ et écrire le résultat de la pesée.
Réponse
Cette balance étant graduée à $\pu{0,01 g}$ près, $U = \dfrac{\pu{0,01 g}}{\sqrt{3}} = \pu{0,00577 g}$ et le résultat de la mesure s’écrit $m = \pu{(38,450 \pm 0,006) g}$.
Cas d’une double lecture sur une échelle graduée
Lorsque la mesure nécessite une double lecture, les incertitudes liées à la lecture peuvent se cumuler ou se compenser, totalement ou partiellement. Pour un niveau de confiance de 95 %, l’incertitude de cette mesure a pour expression : $$ U_{\text{double lecture}} = \sqrt{2\, \left(\dfrac{\text{Valeur Plus Petite Graduation}}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{2}\;U_{\text{lecture}} $$
- La mesure de la distance séparant deux récepteurs à ultrason nécessite de repérer par rapport à une règle graduée jusqu’au millimètre les positions de ces deux dispositifs : c’est une double mesure.
Déterminer l’incertitude associée à toute mesure utilisant une règle graduée jusqu’au millimètre.
Réponse
La règle étant graduée au millimètre, $U = \sqrt{2}\times\dfrac{\pu{1 mm}}{\sqrt{3}} = \pu{0,82 mm}$.
Remarque : En pratique, on peut arrondir cette incertitude à $U = \pu{1 mm}$.
- La mesure de la période $f$ d’un signal périodique affiché sur l’écran d’un oscilloscope nécessite de repérer deux points de la courbe et de lire leurs abscisses : c’est une double mesure.
La plus petite graduation, sur l’écran de l’oscilloscope, étant égale à $\pu{0,2 division}$, déterminer l’incertitude associée à toute mesure à l’écran d’un oscilloscope.
Réponse
$U = \sqrt{2}\;\times\dfrac{\pu{0,2 division}}{\sqrt{3}} = \pu{0,163 division}$. Pour obtenir l’incertitude en secondes, il ne reste plus alors qu’à multiplier par la base de temps.
Utilisation d’un appareil dont le constructeur a indiqué la tolérance
Cas d’une mesure obtenue avec un appareil de tolérance connue
Lorsque la mesure est obtenue avec un appareil pour lequel le constructeur indique la tolérance $t$ (notée $\pm t$), l’incertitude liée à la tolérance de cet appareil a pour expression : $$ U = \dfrac{2\, t}{\sqrt{3}} $$
- En chimie, les fabricants indiquent toujours la tolérance sur la verrerie jaugée. Par exemple, la tolérance d’une pipette jaugée de $\pu{10 mL}$, de classe A, est égale à $\pu{\pm 0,02 mL}$.
Déterminer l’incertitude sur la mesure d’un volume à l’aide d’une pipette jaugée de $\pu{10 mL}$.
Réponse
L’incertitude sur la mesure du volume lors de l’utilisation de cette pipette jaugée vaut donc $U = \dfrac{2 \times \pu{0,02 mL}}{\sqrt{3}} = \pu{0,023 mL}$ et le volume prélevé est égal à $\pu{(10,00 \pm 0,03) mL}$.
- Un élève mesure un volume d’eau de $\pu{40,0 mL}$ avec une burette graduée de $\pu{50 mL}$ de classe A (tolérance $\pu{\pm 0,05 mL}$).
Déterminer l’incertitude sur la mesure du volume d’eau.
Réponse
L’incertitude $U$ vaut donc $U = \dfrac{2 \times \pu{0,05 mL}}{\sqrt{3}} = \pu{0,0577 mL}$ et le volume mesuré est $\pu{(40,00 \pm 0,06) mL}$.
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$U(m)$ est l’incertitude sur la mesure. ↩︎