Loi de Boyle-Mariotte

À la fin du document Chap. 9,1, on a précisé que pour décrire l’état d’un gaz au niveau macroscopique, il est nécessaire de prendre en compte les paramètres volume, pression, température et quantité de matière, et que ces quatre paramètres ne sont pas indépendant les uns des des autres.

L’objectif de cette séance est de mettre en évidence la relation qui existe entre la pression au sein d’un gaz et son volume, la température et la quantité de matière restant constantes. Cette relation porte le nom de loi de Boyle-Mariotte.

Manipulations

  • Choisir pour la seringue à disposition le volume le plus grand possible.
  • Connecter la seringue au pressiomètre.
  • Relever les valeurs des pressions pour les volumes ci-dessous et compléter le tableau :
Volume ($\pu{cm3}$) 60 55 50 45 40 35 30
Pression (hPa) … … … … … … …

Préparation des variables du problème

Le fichier de travail se trouve à cette adresse
  1. Compléter les instructions suivantes :
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2

V = [....]  # cm³
P = [....]  # hPa
Réponse 
1
2

V = [30, 35, 40, 45, 50, 55, 60]  # cm³
P = [1935, 1680, 1521, 1338, 1218, 1093, 1004]  # hPa
  1. Convertir les volumes en $\pu{m3}$.
1
2

for i in range(len(V)):
    V[i] = ....
Réponse 
1
2

for i in range(len(V)):
    V[i] = V[i] * 1e-6
  1. De la même façon, convertir les pressions en Pa (pascal).
1
2

.... :
    ....
Réponse 
1
2

for i in range(len(P)):
    P[i] = P[i] * 100

Évolution de la pression en fonction du volume

  1. Compléter les instructions suivantes de façon à afficher l’évolution de la pression lorsque le volume varie.
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sns.set()
plt.figure()
plt.plot(...., ...., 'o', label="Pression (Pa)")
plt.xlabel(r"$V\ (\mathrm{m}^3)$")
plt.ylim(50000, 250000)
plt.xlim(1e-5, 8e-5)
plt.legend()
plt.show()
Réponse 
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8

sns.set()
plt.figure()
plt.plot(V, P, 'o', label="Pression (Pa)")
plt.xlabel(r"$V\ (\mathrm{m}^3)$")
plt.ylim(50000, 250000)
plt.xlim(1e-5, 8e-5)
plt.legend()
plt.show()
  1. La relation entre $P$ et $V$ est-elle linéaire ?
Réponse

$P$ n’est pas proportionnel à $V$.

  1. La variable invV doit référencer une liste dont les valeurs sont les inverses des valeurs de la liste référencée par la variable V. Écrire le code qui réalise cette opération.
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invV = []
for elt in V:
    ....
Réponse 
1
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3

invV = []
for elt in V:
    invV.append(1 / elt)
  1. Compléter les instructions suivantes de façon à afficher l’évolution de la pression P en focntion de invV.
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4

plt.plot(...., ...., 'o', label="Pression (Pa)")
plt.xlabel(r"$1/V\ (\mathrm{m}^{-3})$")
plt.legend()
plt.show()
Réponse 
1
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4

plt.plot(invV, P, 'o', label="Pression (Pa)")
plt.xlabel(r"$1/V\ (\mathrm{m}^{-3})$")
plt.legend()
plt.show()
  1. La relation est-elle cette fois linéaire ?
Réponse

$P$ et $\dfrac{1}{V}$ sont proportionnels.

Modélisation du comportement de $P$ en fonction de l’inverse du volume

On effectue dans cette partie une modélisation, en postulant que la relation qui existe entre $P$ et $\dfrac{1}{V}$ est une relation de linéarité.

  1. Compléter le code de la fonction modele de façon à ce qu’elle traduise le comportement recherché. Compléter aussi le code des deux instructions qui réalisent le tracé.
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# Fonction modèle
def modele(x, a):
    return ....

# Détermination des paramètres optimaux
popt, pcov = curve_fit(modele, invV, P)
a_mod = popt[0]

# Préparation du tracé
invV_mod = np.linspace(min(invV), max(invV), 50)
P_mod = modele(invV_mod, a_mod)

# Tracé
plt.plot(...., ...., 'o', label="Pression (Pa)")
plt.plot(...., ...., '-', label="Pression (Pa) modélisée")
plt.xlabel(r"$1/V\ (\mathrm{m}^{-3})$")
plt.legend()
plt.show()
print(popt)
Réponse 
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# Fonction modèle
def modele(x, a):
    return a * x

# Détermination des paramètres optimaux
popt, pcov = curve_fit(modele, invV, P)
a_mod = popt[0]

# Préparation du tracé
invV_mod = np.linspace(min(invV), max(invV), 50)
P_mod = modele(invV_mod, a_mod)

# Tracé
plt.plot(invV, P, 'o', label="Pression (Pa)")
plt.plot(invV_mod, P_mod, '-', label="Pression (Pa) modélisée")
plt.xlabel(r"$1/V\ (\mathrm{m}^{-3})$")
plt.legend()
plt.show()
print(popt)
  1. Afficher la valeur du paramètre a_mod.
Réponse 
1

print("a = {}".format(a_mod))

Corrigé complet

Corrigé

Correction interactive

À retenir

Modèle du gaz parfait

Le modèle du gaz parfait est constitue une tentative de description du comportement d’un gaz réel. Lors de cette modèlisation :

  • on néglige la structure interne des entités qui constituent le gaz ; elles sont considérées comme étant de points matériels.
  • on néglige les interactions qui existent entre les entités qui constituent le gaz. Ces entités n’interagissent donc qu’avec les parois du récipient qui contient le gaz.

Quatre paramètres (non indépendant entre eux) permettent de décrire un gaz parfait en équilibre (mécanique et thermique) : $P$ la pression (en pascal), $T$ la température (en kelvin), $V$ le volume (en mètre-cube) et $n$ la quantité de matière (en mole).

Le modèle du gaz parfait ne décrit fidèlement le comportement d’un gaz réel qu’à basse pression.
On utilise cependant régulièrement ce modèle en chimie.
La loi de Boyle-Mariotte relie la pression et le volume d’un gaz parfait à température constante. Son expression mathématique est : $$ P\, V = \text{cste} $$ En d’autres termes, maintenir la température constante pendant une augmentation de pression d’un gaz exige une diminution de volume. Inversement, la réduction de la pression du gaz passe par une augmentation de volume.
La valeur exacte de la constante n’a pas besoin d’être connue pour appliquer la loi entre deux volumes de gaz sous des pressions différentes, à la même température : $$ P_1\, V_1 = P_2\, V_2 $$