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Le texte ci-dessous décrit le comportement d'un objet, communément appelé « ludion », plongé dans une colonne d'eau.
« Dans le liquide est une petite figure d'émail, soutenue par une boule de verre creuse qui contient de l'air et de l'eau… Cette boule est percée à sa partie inférieure, d'une petite ouverture par laquelle l'eau peut pénétrer ou sortir, selon que l'air intérieur de la boule est plus ou moins comprimé… Si l'on exerce avec la main une pression sur le piston comme le montre la figure, l'air qui est au-dessous se trouve comprimé et transmet la pression à l'eau du vase et à l'air qui est dans la boule… »
Texte et illustration provenant de : A.GANOT, Traité de Physique, Ed. Ganot 18070
Au laboratoire, le ludion peut être réalisé à
l'aide d'une bille (
) de
verre de volume 
, symbolisant
la figurine solide, placée dans un ballon de baudruche (
) fermé et
imperméable, renfermant de l'air de volume variable 
; le ludion a donc un volume variable 
tel que 
. Il est placé
dans une éprouvette cylindrique verticale (
), remplie d'eau sur une hauteur 
très supérieure aux dimensions du ludion et fermée
dans sa partie supérieure par une membrane souple
imperméable (
).
Lorsque l'on n'appuie pas sur la membrane, le ludion est en
équilibre en un point voisin de la surface de l'eau
(figure 1). Lorsque l'on appuie sur la membrane (), on constate que le ludion tombe
au fond de l'éprouvette (figure 2).
On se propose d'interpréter sommairement cette observation.
Masse du ludion (bille + ballon + air dans le ballon) : 
;
Volume de la bille : 
;
Masse volumique de l'eau : 
;
Intensité de la pesanteur : 
;
Équation d'état des gaz parfaits : 
. Dans cette équation 
, la pression du gaz, est en Pascal (Pa),
, son volume, en
mètres cubes (
),
, la quantité de
matière, en moles (mol), 
,
la température, en Kelvin (K). 
est
la constante des gaz parfaits (
)
;
La température est constante et égale à 298 K.
Le système interagit avec l'eau. On modélise cette
interaction par le poids 
;
Le système interagit avec l'eau. On modélise cette
interaction par la poussée d'Archimède 
lorsque le système est immobile. Lorsque le
système est en mouvement, on ajoute une force de
frottement fluide à cette modélisation.
, 
,
et 
.
;
Rappel : la poussée d'Archimède est opposée au poids. Sa valeur est celle du poids d'eau déplacé par le système.
le volume d'air enfermé dans le
ballon lorsque le ludion est en équilibre. Établir son
expression littérale en fonction de , et .
Puisque le système est immobile, son accélération est nulle. La deuxième loi de Newton s'écrit donc
Le poids et la poussée d'Archimède sont donc deux vecteurs colinéaires et de sens opposés. Les valeurs sont donc telles que
Finalement
.
A.N. 
.
L'eau est supposée incompressible. La compression de la membrane augmente globalement la pression de l'eau sur l'air enfermé dans le ludion.
L'air dans le ludion est considéré comme un gaz parfait donc :
Le volume du ludion diminue donc lorsque la pression qui s'exerce sur lui augmente.
Si le volume diminue, le volume diminue aussi puisque le volume
reste constant. La poussée d'Archimède diminue donc
aussi puisqu'elle est proportionnelle au volume . L'équilibre est rompu et le ludion
se déplace vers le bas.
Pour étudier le mouvement du ludion, on se place dans le
référentiel du laboratoire. On définit un axe
vertical 
dirigé vers le bas, le point
coïncide avec le centre d'inertie du ludion
à l'instant de date 
(instant où le
ludion débute sa descente).
On suppose que le ludion est soumis à une force de frottement
s'exprimant sous la forme 
où 
est le vecteur vitesse du centre d'inertie de la bille et
le coefficient de frottement (
).
On néglige la variation de pression avec la profondeur et on
considère que la pression de l'eau sur l'air enfermé dans
le ludion est la même quelle que soit l'ordonnée 
du ludion afin que la valeur de la poussée
d'Archimède puisse être considérée constante.
Le volume d'air du ludion est désormais 
et est supposé constant sur l'ensemble de la descente.
On applique la deuxième loi de Newton
Une projection selon l'axe 
donne
ou
Puisque 
(le ludion descend), on a 
; l'équation différentielle
s'écrit
en donnant l'expression de
en fonction de , , et
.
en précisant son
unité.
Par identification, on conclut que
A.N. 
et 
.
Partie Hors-Programme
On veut résoudre numériquement cette équation différentielle par la méthode numérique la plus simple : la méthode d'Euler.
À une date t donnée, on suppose que la
dérivée 
est constante
pendant un cours intervalle de temps 
appelé « pas d'intégration ».
À partir de l'équation différentielle et des
conditions initiales 
à 
, on calcule la valeur de la
dérivée, puis la valeur de la vitesse 
à la date 
égale à 
.
C'est une approximation affine !
On recommence en considérant la date suivante, 
; la valeur de constitue la
nouvelle condition initiale. Et ainsi de suite…
Le tableau suivant est un extrait d'une feuille de calcul des valeurs de
la vitesse (
) et de
l'accélération (
)
du ludion en fonction du temps (
).
Il correspond aux valeurs 
et 
 |
( ) |
( ) |
| 0,00 | 0,00 | 0,29 |
| 0,10 | 0,03 | 0,22 |
| 0,20 | 0,05 | 0,17 |
| 0,30 | 0,07 | 0,13 |
| 0,40 | 0,08 |  |
| 0,50 |  |
0,07 |
| 0,60 | 0,10 | 0,06 |
manifestement choisi ?
Le pas d'itération est 
puisqu'on
passe d'une date à la suivante en ajoutant 
.
et
en détaillant les calculs.
donc 
.
donc 
.
On a représenté sur le même graphique (figure 4) les courbes d'évolution de la vitesse du ludion au cours du temps pendant sa descente obtenues, d'une part par pointage vidéo et traitement informatique, d'autre part par la méthode d'Euler.
En diminuant le pas d'itération dans la méthode d'Euler, on augmente la précision de la méthode ; la courbe de la méthode d'Euler se rapprocherait alors de la courbe expérimentale mais le nombre de lignes de calcul augmenterait.
Attention : si on diminue trop le pas et qu'on augmente le nombre de calcul, on augmente aussi l'erreur due à l'arrondi.
et puis sa valeur.
Vérifier qu'elle est en accord avec l'expérience.
En régime permanent la vitesse, notée 
devient constante, donc 
et 
.
A.N. 
.
Cette valeur est bien en accord avec celle que l'on peut lire sur le
graphe.