Méthode « Diviser pour régner » on Accueil

Somme des $n$ nombres d'un tableau

Sun, 29 Jan 2023 23:13:31 +0400

L’objectif de ce document est d’écrire et d’implémenter un algorithme s’appuyant sur le raisonnement « Diviser pour régner » qui permet de déterminer la somme des $n$ nombres (entiers) d’un tableau.

Écrire le code de fonction somme1 dont la spécification est :

def somme1(tab: List[float]) -> float:
    """
    Calcul de la somme des nombres éléments
    de tab.

    Algorithme : Récursivité enveloppée
    """

Penser à écrire un jeu de tests.

Diviser pour régner

Sun, 29 Jan 2023 21:53:04 +0400

Dans quel cas ?

On parvient à découper un problème en sous-problèmes indépendants les uns des autres. On poursuit cette démarche jusqu’à aboutir à une situation simple : cas de base.
La solution du cas de base est généralement simple à obtenir et permet la construction de la solution du problème.

Remarque

C’est l’indépendance des sous-problèmes qui permet la construction de la solution globale directe par recombinaison des solutions intermédiaires.

Décomposition d'un problème en sous-problèmes

Sun, 29 Jan 2023 21:48:22 +0400

Principe

On décompose le problème en sous-problèmes plus simples.
On résout les sous-problèmes.
On combine les sous-problèmes de façon à construire la solution du problème initial.

Indépendance des sous-problèmes

Si les sous-problèmes sont indépendants les uns des autres : « Diviser pour règner ».
Si les sous-problèmes dépendent les uns des autres : « Programmation dynamique ».

Recherche numérique de zéros de fonctions

Thu, 03 Feb 2022 21:28:05 +0400

Dans ce document on introduit une méthode permettant d’évaluer numériquement une solution de l’équation $f (x) = 0$, avec $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ (lorsque la solution existe, bien sur) : la méthode de dichotomie.

La méthode de dichotomie est efficace et converge relativement vite. De plus, les conditions de son utilisation sont assez simples : la fonction $f$ doit seulement être continue et changer de signe sur l’intervalle choisi ;
La méthode de Newton converge étonnement vite ! Les conditions de son utilisation sont cependant plus contraignantes : la fonction $f$ doit être dérivable.

Méthode de la dichotomie

Le raisonnement à mettre en œuvre s’appuie sur le théorème des valeurs intermédiaires.

Problème de la sous-séquence de somme maximale

Fri, 28 Jan 2022 06:12:48 +0400

Ce document étudie le problème de la sous-séquence de somme maximale. Ce problème est intéressant parce qu’il existe nombre d’algorithmes pour le résoudre et la complexité (en nombre d’opérations de somme) de ces algorithmes varie considérablement. Seulement deux algorithmes seront abordés, un prochain document présentera l’algorithme le plus efficace (cf. programmation dynamique).

Présentation

Étant donné un tableau tab[1..n] d’entiers (positifs et négatifs), déterminer la valeur maximale du sous-tableau tab[g..h] donnant la plus grande somme de tous les sous-tableaux contigus de tab. Pour plus de commodité, la sous-séquence de somme maximale est 0 si tous les entiers sont négatifs.

Exemples

Pour le tableau tab = [-2, -5, 6, -2, -3, 1, 5, -6], la sous séquence de somme maximale est [6, -2, -3, 1, 5] et sa somme est 7.
Pour le tableau tab = [0, 1, 2, -2, 3, 2], la sous séquence de somme maximale est [1, 2, -2, 3, 2] et sa somme est 6.
Pour le tableau tab = [1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5], la sous séquence de somme maximale est [3, 10, -4, 7, 2] et sa somme est 18.

Paradigme « Brute force »

On envisage dans un premier temps un algorithme basé sur le paradigme « Brute force » : on évalue la somme de chaque sous-tableau (parmi les $n(n + 1)/2$ sous-tableaux possibles) et à chaque évaluation on mémorise la somme maximale. Écrire le code de la fonction sous_tab_max dont la spécification est :

def sous_tab_max(tab: List[int]) -> int:
    """
    Recherche de la somme maximale dans un tableau.
    
    Paradigme : « Brute force ».
    """

Tester cette fonction.

Recherche des plus grand et petit éléments dans un tableau

Wed, 26 Jan 2022 05:14:44 +0400

L’objectif de ce document est d’écrire et d’implémenter un algorithme s’appuyant sur le raisonnement « Diviser pour régner » qui permet de déterminer le maximum et le minimum des éléments dans un tableau.

Générer une liste contenant un million de termes choisis aléatoirement entre un et mille milliards.

Réponse

from random import randint

if __name__ == "__main__":
    tab = [randint(1, int(1e12)) for i in range(int(1e6))]

Utiliser les fonctions min et max fournies par le langage Python afin d’afficher les maximum et minimum dans la liste.

Réponse

    print("Fonctions Python")
    val_min, val_max = (min(tab), max(tab))

    print("min = {}, max = {}".format(val_min, val_max))

Écrire le code de la fonction maxmin1 qui, à partir d’un algorithme de « brute force », détermine les maximum et minimum dans la liste passée en argument. La spécification de la fonction est :

def maxmin1(tab: List[float]) -> Tuple[float, float]:
    """
    Recherche du minimum et du maximum dans le tableau tab.

    Paradigme « Brute force »
    """

Réponse

def maxmin1(tab: List[float]) -> Tuple[float, float]:
    """
    Recherche du minimum et du maximum dans le tableau tab.

    Paradigme « Brute force »
    """
    val_max = tab[0]
    val_min = tab[0]

    for elt in tab:
        if elt > val_max:
            val_max = elt
        if elt < val_min:
            val_min = elt

    return (val_min, val_max)

Vérifier le bon fonctionnement de la fonction maxmin1 en affichant les maximum et minimum dans la liste, à la suite de ceux déterminés à l’aide des fonctions fournies par Python.

Réponse

1
2
3

    print("Recherche « Brute Force »")
    val_min, val_max = maxmin1(tab)
    print("min = {}, max = {}".format(val_min, val_max))

Quelle est la complexité de la fonction maxmin1 ?

Réponse

Il est nécessaire de parcourir tout le tableau, la complexité est donc en $O(N)$.

Les tours de Hanoï

Tue, 24 Nov 2020 04:54:14 +0400

Le problème mathématique des tours de Hanoï a été inventé par Édouard Lucas. Paru d’abord en fascicule en 1889 , il est publié ensuite dans le tome 3 de ses « Récréations mathématiques », parues à titre posthume en 1892. Il annonce que ce problème est dû à un de ses amis, N. Claus de Siam (anagramme de Lucas d’Amiens, Amiens étant sa ville de naissance), prétendument professeur au collège de Li-Sou-Stian (anagramme de Saint Louis, le lycée où Lucas enseignait).

Sous le titre « Les brahmes tombent », Lucas relate que « N. Claus de Siam a vu, dans ses voyages pour la publication des écrits de l’illustre Fer-Fer-Tam-Tam, dans le grand temple de Bénarès, au-dessous du dôme qui marque le centre du monde, trois aiguilles de diamant, plantées dans une dalle d’airain, hautes d’une coudée et grosses comme le corps d’une abeille. Sur une de ces aiguilles, Dieu enfila au commencement des siècles, 64 disques d’or pur, le plus large reposant sur l’airain, et les autres, de plus en plus étroits, superposés jusqu’au sommet. C’est la tour sacrée du Brahmâ. Nuit et jour, les prêtres se succèdent sur les marches de l’autel, occupés à transporter la tour de la première aiguille sur la troisième, sans s’écarter des règles fixes que nous venons d’indiquer, et qui ont été imposées par Brahma. Quand tout sera fini, la tour et les brahmes tomberont, et ce sera la fin des mondes ! ».

Wikipedia

Rotation d'une image bitmap d'un quart de tour

Wed, 18 Nov 2020 17:12:52 +0400

L’objectif de cette activité est l’écriture d’une fonction qui effectue la rotation d’une image bitmap de 90 degrés en utilisant le principe « Diviser pour régner ».

On peut manipuler des images en Python à l’aide du module PIL (Python Image Library). Une première partie de l’activité est consacrée à la prise en main de ce module. Dans un second temps, la fonction de manipulation des bits est développée.

Images numériques

Définition

L’image matricielle

Une image matricielle, ou « carte de points » (de l’anglais « bitmap »), est une image constituée d’une matrice de points colorés, c’est-à-dire, constituée d’un tableau, d’une grille, où chaque case possède une couleur qui lui est propre et est considérée comme un point. Il s’agit donc d’une juxtaposition de points de couleurs formant, dans leur ensemble, une image.

Wikipedia

Le tri fusion

Wed, 18 Nov 2020 17:12:24 +0400

Le tri fusion d’un tableau

Description du tri

Dans cette partie, nous allons essayer de comprendre les principes sur lesquels s’appuie ce tri. Son implémentation, pour des tableaux ou des listes chaînées, sera développée dans les prochaines sections.

Le tri fusion s’appuie sur la méthode Diviser pour régner pour trier les $n$ éléments d’une séquence $S$ :

Diviser : Si la séquence $S$ est composée de 0 ou un élément, retourner $S$ immédiatement ; cette séquence est déjà triée. Si la séquence $S$ est composée de plus de deux éléments, la diviser en deux sous-séquences $S_1$ et $S_2$ contenant chacune environ la moitié des éléments de $S$ ; donc $S_1$ est formée des $\left\lfloor \dfrac{n}{2} \right\rfloor$ premiers éléments de $S$ contient les $\left\lceil \dfrac{n}{2} \right\rceil$ derniers éléments de $S$.
Régner : Trier récursivement $S_1$ et $S_2$.
Combiner : Reformer la séquence $S$ en combinant, dans l’ordre, les éléments des séquences triées $S_1$ et $S_2$.