Structures hiérarchiques : les arbres on Accueil

Le codage de Huffman

Mon, 16 Nov 2020 16:11:14 +0400

Cette séance a pour objet l’étude d’une méthode de compression de données inventée par David Albert Huffman en 1952. Cette méthode permet de réduire la longueur du codage d’un alphabet et repose sur la création d’un arbre binaire.

Différents types de codages

On appelle alphabet l’ensemble des symboles (caractères) composant la donnée de départ à compresser.

Dans la suite, nous utiliserons un alphabet composé seulement des 8 lettres A, B, C, D, E, F, G et H.

Arbres Binaires Recherche

Tue, 10 Nov 2020 05:04:12 +0400

Introduction

Quelle structure de données permet :

d’organiser les données selon un ordre donné (numérique, lexicographique, etc.) ;
d’effectuer des recherches le plus efficacement possible ;
d’accéder à, d’insérer ou de supprimer les données le plus efficacement possible.

Tableaux

Propriétés

On peut ordonner des données dans un tableau mais l’algorithme de tri le plus rapide, pour un jeu de données aléatoires, est en $O(n \; \log n)$ ;
On peut accéder à une donnée en $O(1)$ ;
On peut rechercher une valeur efficacement en utilisant la dichotomie (si le tableau est trié !) : $O(\log n)$ ;
Supprimer ou insérer une valeur n’est pas très efficace : $O(n)$ (sauf à la fin du tableau).

Dictionnaires

Propriétés

Accéder à, supprimer et insérer une valeur se fait très efficacement : $O(1)$ ;
Les données ne sont pas ordonnées.

Remarque: Dans la suite de ce document, on considérera que les valeurs des nœuds sont des entiers.

Un arbre binaire de recherche, ou ABR, est un arbre binaire avec la propriété suivante : quel que soit le nœud $x$, tous les nœuds situés dans le sous-arbre gauche de $x$ ont une valeur inférieure à la valeur du nœud $x$, et tous ceux situés dans son sous-arbre droit ont une valeur supérieure à la valeur du nœud $x$.

Remarque: La définition précédente est récursive.

Les arbres binaires

Thu, 05 Nov 2020 03:38:41 +0400

Arbres binaires

Définition

Un arbre binaire est une structure de données abstraite formée d’un ensemble de nœuds organisés hiérarchiquement selon la définition par récurrence suivante :

Un arbre binaire est :

soit un arbre vide, noté $E$, ne contenant aucun nœud ;
soit un nœud, appelé racine, relié à exactement deux arbres binaires $g$ et $d$, respectivement appelés sous-arbres gauche et sous-arbre droit.

On note $T(r,g,d)$ l’arbre non vide dont la racine $r$ (on peut aussi indiquer l’étiquette de cette racine).

Structures de données abstraites arborescentes : les arbres

Thu, 05 Nov 2020 03:37:56 +0400

La notion de listes chaînées est parfaite pour structurer un ensemble d’élements destinés à être énumérés séquentiellement. Elle permet aussi d’implémenter les structures de piles et de files. Elle n’est cependant pas adaptée aux accès spécifiques à des positions données dans la séquence, puisqu’il faut alors parcourir toutes les cellules depuis le début de la liste jusqu’à la position souhaitée (complexité en $O(N)$).

Document de référence pour ce cours

Structures arborescentes

Lorsqu’on manipule une information présentant une certaine hiérarchie, il est commun de la représenter graphiquement :